Futbola küçük yaşlarda başlayan oyuncu, 2004 yılında Dunarea Galați takımında profesyonel oldu. Daha sonra 4 sene burada forma giyen Alexandru, 96 maça çıkıp 7 gol attı. 2008 yılında ise Oțelul Galați takımına çıktı ve ön liberoda oyun stiliyle ve çıktığı 31 maçla ligin diğer ekibi FC Timișoara'nın dikkatini çekti. Burada ise 2 sezon forma giyen Bourceanu, 80 maça çıkıp 2 gol atarken 2011 yaz transfer döneminde ülkenin en büyük takımlarından Steaua Bükreş'in yolunu tuttu.

Burada sadece 10 maça çıktıktan sonra ise Gattuso lakaplı oyuncu takım kaptanı oldu. 2011-12 sezonunda ligde 31 maça çıktan oyuncu özellikle çoğu serbest vuruştan olmak üzere yaptığı 6 asistle dikkat çekmiştir. 2,790 dakika sahada kalan Alexandru, 7 sarı kart görmüştür. O sezon ayrıca kariyerinde ilk kez UEFA Avrupa Ligi'nde mücadele eden Bourceanu, ön eleme turunda CSKA Sofya maçında kariyerindeki ilk Avrupa maçı tecrübesini yaşamıştır. Sezon boyunca UEFA Avrupa Ligi'nde 9 maça çıkan oyuncu, 1 asist yapmıştır. Takımı, Schalke 04, AEK Larnaca ve Maccabi Haifa'nın bulunduğu gruptan çıksa da sonraki turda FC Twente'ye her iki maçta da 1-0'lık skorla boyun eğerek turnuvaya veda etmiştir.

Sonraki sezon ise yine takımın değişilmezi olan Bourceanu, ilk maçında Temmuz 2012'de Chiajna karşısında çıkmıştır. O sezon takımıyla ilk resmi golünü ise Rapid Bükreş ağlarına yollamış ve takımı bu derbi maçı 1-0 kazanmıştır. O sezon ligde 32 maça çıkan oyuncu 3 gol atıp 8 asist yapmıştır. UEFA Avrpa Ligi'nde ise 12 maça çıkan oyuncu 3 tane de asist yapmıştır. 2012-13 sezonunu iyi bir yerde bitiren takımın kaptanı olan Alexandru, takımıyla birlikte UEFA Şampiyonlar Ligi elemlerine katılma hakkı kazanmıştır. Böylelikle Makedonya ligi ekibi Vardar Skopje karşısında 16 Temmuz günü ilk Şampiyonlar Ligi maçına çıkmış ve bir de asist yapmıştır. Bu takımı geçen Steaua daha sonraki turlarda ise Dinamo Tbilisi ve Legia Warszawa takımlarını eleyerek adını gruplara yazdırmıştır. Chelsea FC, Schalke 04 ve FC Basel ile eşleşen takımda grup maçlarının 6 tanesinin 5 tanesinde görev yapmış ancak takımı bir üst tura yükselememiştir.

Sezonun ilk yarısında ligde 17 maça çıkan oyuncu 5 tane de asist yapmıştır.

2013-14 sezonu ara transfer döneminin son gününde orta saha transferi yapmak isteyen Trabzonspor, oyuncuyu 3 Şubat 2014 tarihinde Trabzon'a getirerek 3,5 yıllık sözleşme imzalamıştır.