Miroslav, henüz küçük bir çocukken dahi futbol dışında başka alanlara ilgi göstermezdi. Babası onun bu yeteneğini erken fark ederek yaşadıkları şehrin takımı olan FC Nitra altyapısına yazdırdı. Ailesinin "Mino" takma ismiyle çağırdı genç yıldız, sahaya ayak basar basmaz diğer takım arkadaşlarından farkı olan gol atma yeteneğini sergilemeye başlamıştı. Küçük boyunun yanı sıra atığı çalımlarla dikkat çekiyordu.

Altyapıda gösterdiği performans ile kısa sürede FC Nitra A takımına yükselen Stoch, ilk resmi maçına 16 yaşında yaşında çıkmış ve ünlü Avrupalı menajerler tarafından izlenmeye başlanmıştı bile.

Uluslararası müsbakalardan birinde Stoch'u izleten Chelsea, Slovak oyuncu OGC Nice ile sözleşme imzalamak üzereyken kendisine İngiltere'de deneme teklifinde bulundu. Bu deneme sürecinden sonra beğenilen genç yetenek 2006 yılında Chelsea Futbol Akademisi'ne katıldı. 2006-2007 sezonunda Chelsea U-18'de sürekli olarak oynayan Stoch toplamda 11 gol kaydetti. Kanat oyuncusu olmasına rağmen o sezon ligde gol krallığını da elde etti.

Stoch, Premier Lig'deki ilk maçına 30 Kasım 2008'de Stamford Bridge'de oynanan Arsenal maçıyla çıkmıştır. Stoch, 80. dakikada Deco'nun yerine oyuna dahil olurken Chelsea maçı 1-2 kaybetti.

16 Temmuz 2009'da Twente Stoch'u Chelsea'den kiralık olarak kadrosuna kattı. Eredivisie ekibiyle ilk maçına Sparta Rotterdam karşısında çıktı. İlk gollerini ise SC Heerenveen'i 2-0 mağlup ettikleri maçta kaydetti. 2009-2010 sezonunda Twente ilk Eredivisie şampiyonluğuna ulaşırken kadronun temel taşlarından biri olan Stoch sezonu 10 golle noktaladı.

Stoch, Haziran 2010'da Fenerbahçe'yle 5,5 milyon euro ücret karşılığında 4 yıllık sözleşme imzaladı. Fenerbahçe adına ilk golünü UEFA Şampiyonlar Ligi'nde Young Boys takımına attı. Fenerbahçe, Stoch'un iki gol katkısı ile 2010-2011 sezonunda Süper Lig'de 18. şampiyonluğunu kazandı.

Stoch 2011-2012 sezonunda attığı birbirinden güzel gollerle adından sıkça söz ettirdi. Stoch sezonu 10 golle tamamladı. İlk geldiği sezon 11 numaralı formayı giyen Slovak futbolcu, 2011-2012 sezonunda ise 9 numaralı formayı giymek istemiş ve 9 numaralı forma ile sezona başlamıştır. Fenerbahçe formasıyla 2011-2012 sezonunda Gençlerbirliği maçında Kaptan Alex de Souza'nın kullandığı korner atışında ceza sahası dışından vole vuruşu ile FIFA Puskas Ödülleri'ne seçilmiş ve en iyi 3 gol arasına girmiştir. 7 Ocak 2013'te Zürih'te yapılan Puskas Ödül Töreni'nde de bu ödüle layık görülmüştür.

Stoch A takımla ilk maçına 10 Şubat 2009'da Ukrayna karşısında 70. dakikada oyuna girerek çıktı. 2010 Dünya Kupası'nda da ülkesi adına forma giyen Stoch'un milli takım formasıyla 28 maçta 5 golü bulunmaktadır.