Şuay Alpay, 20 Ekim 1960'ta Elazığ'da doğdu. İstanbul Üniversitesi Hukuk Fakültesini bitirdi. 1986 yılında Kamu İşverenler Sendikasında uzman yardımcılığı görevinde bulundu. 1986 yılında hâkimlik stajına başladı ve 1991 yılına kadar ceza ve hukuk hâkimliği yaptı. 1991 yılından sonra serbest avukat olarak çalıştı. Sivil toplum kuruluşlarında kuruculuk ve yöneticilik yaptı. Yerel yayın yapan televizyon kanallarında açık oturum ve tartışma programları hazırladı ve yönetti. Alpay; Ak Parti MKYK üyeliği, Anayasa Komisyonu Üyeliği, Adalet Komisyonu Üyeliği, Ak Parti Grup Yöneticiliği, Ak Parti Genel Merkez Başkan Yardımcılığı, parlamentolar arası dostluk grubu başkanlıkları, üyelikleri ve 24-25. Dönemlerde Elazığ Milletvekilliği görevlerinde bulunmuştur Alpay, evli ve 3 çocuk babasıdır.