İkinci Dereceden Denklemler Konu Anlatımı - 2. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Formülleri ve Kuralları

Matematikte her zaman en az bir bilinmeyeni bulmaya çalışırız. İlkokul yıllarında bunu belirli işlemler ile yaparken leşe yıllarında denklem kurarak yapmaya başlarız. İkinci Dereceden Denklemler konu anlatımı bu nedenle sıkça merak ettiğimiz konulardan biridir. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, bilinmeyenin karesi şeklinde yazılan denklemlere denir. 2. dereceden denklemler formülleri kökler toplamı, kökler çarpımı gibi formüllerden yararlanılarak bulunur.

İkinci Dereceden Denklemler konu anlatımı ile karşılaştığımız x bilmediğimiz ama bulmak istediğimiz şeyi ifade eder. ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, ÖSYM tarafından hemen her sene üniversiteye giriş sınavlarında soruluyor. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler "ax² + bx +c" şeklide gösterilir. 2. dereceden denklemler formülleri x gerçek sayılarına denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye, denklemin çözüm kümesi şeklinde tanımlarla oluşturulur.

İkinci Dereceden Denklemler Konu Anlatımı

ax²+ bx + c = 0 denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve a, b, c sayılarına denklemin katsayılarına denir. Bu denklemlerde a sıfırdan farklı olmalıdır ve a, b, c reel sayılar kümesinin elamanı olmalıdır. İkinci dereceden denklemler çarpanlarına ayrılarak rahatlıkla bulunabilir. Çarpanlara ayırmanın ilk adımı x² ifadesi pozitif olacak şekilde tüm terimleri denklemin bir tarafına taşımaktır. Diğer tarafta denklem sıfıra eşitlenir.

Denklemi sağlayan x gerçek (reel) sayılarına denklemin kökleri denir.
Köklerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi (doğruluk kümesi) denir.
Kökler denklemi sağlar.

2. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Formülleri ve Kuralları

İkinci dereceden denklem değişkenin en yüksek kuvvetinin 2 olduğu tek değişkenli bir polinom denklemine denir. İkinci dereceden denklemin köklerini bulmanın bir yolu x²'nin katsayısının pozitif olduğundan emin olunması gerekir. Sabit terim sağ tarafa taşınmalı ve her iki taraf x²'nin kat sayısına bölünmelidir. Sadeleştirme işleminden sonra her tarafın karekökü alınmalıdır.

ax² + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0 şeklinde yazılabiliyorsa f(x) = 0 veya g(x) = 0'dır.
ax² + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı (delta) Δ= b² – 4ac 'dir. Δ> 0 ise denklemin farklı iki gerçek (reel) kökü vardır.
Δ= 0 ise denklemin birbirine eşit (çakışık, çift katlı) iki gerçek (reel) kökü vardır. Bu kökleri şu şekilde yazabiliriz:
- x₁ = x₂ = - b / 2a
Δ< 0 ise denklemin gerçek (reel) kökü yoktur. karmaşık (sanal) kökleri>
Kökleri x₁ve x₂ olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kökleri ile katsayıları arasındaki bağıntılar şu şekildedir:
- Kökler toplamı: x₁ + x₂ = - ( b / a) şeklinde bulunur.
- Kökler çarpımı: x₁ . x₂ = ( c / a ) şeklinde bulunur.
- Bir denklemin kökleri denklemi sağlarlar. Kökleri verilen ikinci derece denklemini:

x² – (x₁ + x₂) x + x₁· x₂ = 0 şeklinde bulunur.

İkinci dereceden denklemin çözüm kümesi, kolaylıkla görülebiliyorsa, çarpanlara ayrılarak bulunur. Bunun için, a ve b birer reel sayı olmak üzere a.b = 0 ise a = 0 ve b = 0 olması gerekir. İkinci dereceden denklemler değişken değiştirilerek çözülebilir. Uygun bir değişken değiştirmesi yapılır. Yeni değişkene göre elde edilen ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözülür. Değişken değiştirme bağıntısından ilk değişkenin değerleri bulunur.

Örnek:

x² – 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

x² – 4 = (x – 2). (x + 2) = 0 şeklinde yazılabilir. Bu nedenle;

x – 2 = 0 ve x + 2 = 0 şeklinde yazılır. Sonuç olarak;

x₁ = 2 ve x₂ = -2 olur.

Buna göre verilen denklemin çözüm kümesi,

Ç = {-2, 2)