Turgay Şeren 15 Mayıs 1932 tarihinde, o dönem Ankara'nın Altındağ ilçesine bağlı bir mahalle olan Keçiören'de, Mustafa Kemal Atatürk'ün özel kalem müdür muavinlerinden Sabit Şevki Şeren ile öğretmenlik yapan Münevver Şeren'in ikinci erkek çocuğu olarak doğdu.
İlkokul dördüncü sınıfa kadar Çorlu'da okudu.
İstanbul'daki Galatasaray Lisesi'ndeki parasız yatılı sınavlarını kazanmasının ardından eğitimine parasız yatılı olarak devam ederken annesi de Çorlu'da yaşayan anne ve babasının yanında öğretmenlik hayatını sürdürmekteydi. Lise üçüncü sınıfında öğrenim gördüğü sırada babası vefat etti.
Lise hayatında gerek öğretmenleri gerekse arkadaşlarının adını Turgay diye telaffuz etmesinin ardından Turgay adını kullanmaya başladı. 1952 yılında liseden mezun oldu.
Kaleci pozisyonunda görev alan oyuncu, futbolculuk kariyerinin tamamını Galatasaray'da geçirmiştir.
1932 yılında doğan Şeren, altyapısında oynadığı Galatasaray'ın A takımındaki ilk maçına 1949-50 sezonunda çıktı.
1954-55, 1955-56 ve 1957-58 sezonlarında İstanbul Profesyonel Ligi; 1961-62 ve 1962-63 sezonlarında Millî Lig; 1962-63, 1963-64 ve 1965-66 sezonlarında Türkiye Kupası şampiyonlukları yaşadı.
Kariyerinin tamamını geçirdiği Galatasaray'da 1966-67 sezonu sonuna kadar görev yaptı. Bu süreçte 369'u lig olmak üzere 405 resmî maça çıktı.
Futbolculuk kariyerini sonlandırdığında, resmî maçlar göz önüne alındığında kulüp tarihinin en çok maça çıkan oyuncusu olan Şeren, sonraları bu unvanını farklı oyunculara kaptırdı.
1950 ile 1952 yılları arasında Türkiye 21 yaş altı millî takımında, 1950 ile 1966 yılları arasında ise Türkiye A millî takımında oynadı.
1951'de Berlin'de Batı Almanya'ya karşı yapılan ve Türkiye'nin 1-2 kazandığı maçta yaptığı kurtarışlar neticesinde "Berlin Panteri" lakabı ile anılmaya başladı.
Ülkenin katıldığı ilk FIFA Dünya Kupası olan 1954 FIFA Dünya Kupası'nda, takımın birinci kalecisi olarak mücadele etti.
A millî takım formasıyla 46 maçta görev aldı.
Futbolculuk kariyerini sonlandırdığında, Lefter Küçükandonyadis ile birlikte en çok A millî olan oyuncu konumunda olsa da, günümüzde bu iki oyuncu bu alanda 24. sırada bulunmaktadır.
Türkiye A millî takımı formasıyla 35 kez kaptan olarak sahaya çıkan Şeren, bu alanda birinci konumdadır.
Futbolculuğu bırakmasının ardından teknik direktörlük ve futbol yazarlığı kariyerine başladı.
1968-69 sezonu başında Mersin İdman Yurdu'nun teknik direktörlüğüne geldi.
1969-70 sezonunda Vefa, 1970-71 sezonunda Samsunspor, 1971-1973 yılları arasında yeniden Mersin İdman Yurdu, 1974'te yeniden Vefa ve son olarak 1979-80 sezonunda Galatasaray'ı çalıştırdı.
Bir dönem ise televizyonda yayınlanan futbol programlarında yorumculuk yaptı.
Liseden mezun olmasının hemen ardından, İstanbul Futbol Ligi'nde mücadele eden Galatasaray'da futbolculuk kariyerine başladı.
Lisedeyken forvet pozisyonunda futbol oynayan Şeren, Galatasaray teknik direktörü Peter Molloy'un yönlendirmesiyle kaleci pozisyonuna geçti.
30 Ekim 1949'da, Vefa ile oynanan ve takımının 1-0 kazandığı İstanbul Ligi karşılaşmasında ilk kez A takım formasıyla bir lig maçına çıktı. 6 Kasım 1949'daki 1-0 kaybettikleri Fenerbahçe maçında ilk derbisine çıktı. Bu maç, aynı zamanda Şeren'in Galatasaray'da oynadığı resmî maçlarda yediği ilk goldü. İstanbul Futbol Ligi'nin 1949-50 sezonunda 9 maça çıkarken kalesinde 7 gol görürken takımı Galatasaray ligi 3. sırada tamamladı ve Millî Eğitim Kupası'nda oynamaya hak kazandı. Takımının bu organizasyonda oynadığı 14 maçın 13'ünde koruduğu kalede 5 gol gördü. Şeren, sakatlığı sebebiyle 23 Nisan'daki Fenerbahçe maçında oynayamamıştı.
Ligde en az gol yiyen takım olan Galatasaray, ligi Fenerbahçe'nin ardından ikinci sırada tamamladı. Şeren, sezonu toplamda 22 lig maçıyla tamamladı ve bu maçlarda toplam 11 gol yerken 11 maçta kalesinde gol görmedi.
30 Eylül 1950'de, Kasımpaşa karşısında oynadıkları ve 2-0 kazandıkları maçta yer alarak 1950-51 sezonundaki ilk resmî maçına çıktı. 5 Kasım'daki Vefa deplasmanında rakip takımdan gelen beş gole engel olamadı ve maç 5-1'lik Vefa galibiyetiyle sona erdi. 17 Şubat 1951'de Beşiktaş ile oynanan hazırlık karşılaşmasında yaşadığı sakatlık sonrasında iki lig maçında oynayamadı. 3-0 kazandıkları 18 Mart'taki Vefa maçıyla sahalara dönen Şeren, takımının geri kalan tüm lig maçlarında görev aldı. Sezonu 12 lig maçıyla tamamlarken kalesinde toplam 12 gol gördü. Bu maçların yarısında kalesini gole kapatmıştı.
