Aristo her bir yüzeyi eşkenar üçgen olan düzgün dört yüzlülerin (tetrahedron) özdeş küpler gibi, aralarında hiçbir boşluk bırakmadan, mevcut alanı yüzde 100 doldurarak birbirleriyle mükemmel bir şekilde birleştiğini düşünüyordu. Birleşmiyorlar. Birisinin Aristo'nun hatalı olduğunu söylemesi için bin 800 yıl geçmesi gerekti. Bu gelişmeden sonra bile dört yüzlülerle alan doldurma çok az ilgi topladı ve birkaç yüzyıl daha geçti. Dört yüzlüler söz konusu olduğu zaman en iyi birleştirme modelinin ne olduğu pek de belirgin değil. Dört yüzlülerin mükemmel bir şekilde birleşmediğinin açıklanmasından sonra yapılan araştırmalar aslında birleştirme sonucunda oldukça büyük boşluk kaldığını gösterdi. 2006 yılında Princeton Üniversitesi'nde görev yapan iki araştırmacı, kimyager Salvatore Torquato, ve matematikçi John H. Conway, bulabildikleri en iyi sıkışma modelinin mevcut alanın yüzde 72'sinden daha azını doldurduğunu açıkladı. Princeton'dan çıkan makale, New York Üniversitesi Fizik Bölümü'nden Profesör Paul M. Chaikin'i harekete geçirdi. Chaikin, piramit şeklindeki zarlardan yüzlerce satın aldı ve lise öğrencilerine bunları akvaryumlara ya da diğer kaplara doldurmalarını söyledi. Chaikin, "Anında yüzde 72'den daha iyisini yapabileceğimizi bulduk" diyor. Aynı makale, Michigan Üniversitesi Matematik Bölümü'nden Profesör Jeffrey C. Lagarias'ı da lisansüstü öğrencilerinden Elizabeth Chen'den dört yüzlülerin birleşmesi konusunu araştırmasını istemesine yol açtı. Chen birkaç hafta boyunca birkaç yüz modeli inceledi ve "yarım düzine kadarının yoğunluk olarak oldukça yüksek olduğunu" fark ettiğini söyledi. Elizabeth Chen'in en iyi modeli ise alanın yüzde 78'ini doldurarak Dr. Conway ve Dr. Torquato'nun teorisini kolaylıkla çürüttü. Bu oranla eşit kürelerin boş alanı doldurma yoğunluğu olan yüzde 74'ü rahatlıkla geçtiler. Bu arada, Michigan Üniversitesi'nden kimyager Profesör Sharon C. Glotzer, dört yüzlülerin sıvı kristaller gibi sıralanıp sıralanamayacağını görmek istedi. Glotzer, "İlgilenmemizin nedeni ABD Hava Kuvvetleri için ilginç optik özellikleri olan yeni malzemeler yaratma çalışmalarımız" diye konuştu. Cam ve kristal arası bir yapı olan "quasikristaller"i inceleyerek, düzgün dört yüzlü için doldurma yoğunluğu yüzde 85'ten fazla olan tekrar eden bir model buldular. Bu bulguyu "Nature" dergisinin Aralık sayısında yayımlanmak üzere hazırlanırken, New York Ithaca'da Cornell Üniversitesi'nden bir grup farklı bir yöntem kullanarak, aynı düzeyde bir doldurma yoğunluğu buldu. Noel'den birkaç gün önce, Dr. Torquato ve lisansüstü öğrenci Yang Jiao, Cornell Üniversitesi'nin modelini biraz değiştirerek yoğunluğu yüzde 85,55'e çıkardıklarını duyurdu. Dr. Torquato verdiği bir röportajda, "Eğer bu model en yoğunsa şok olurum" diyor ve ekliyor, "Ancak şu ana kadar bilinen en yoğun model bu" dedi. Dr. Torquato'nun şok olmasına gerek yoktu. Michigan Üniversitesi'nden Chen, 4 Ocak'ta Princeton ve Cornell üniversitelerinde yaratılanların da dâhil olduğu bir sürü modeli rapor olarak yayınladı. Bu raporda aynı zamanda daha yoğun bir model vardı. Chen'in hesapları Dr. Glotzer'in grubunun simülasyonlarıyla doğrulandı. Yeni dört yüzlü alan doldurma rekoru: Yüzde 85,63.
