Orta saha mevkiisinde forma giyen Mehmet Ekici futbola, 5 yaşında SpVgg Unterhaching takımında başladı. 1997'de FC Bayern Münih'in altyapısına geçti. 2007'ye kadar takımın çeşitli genç takımlarında forma giydi. 2006-07 sezonunda U-17 takımıyla önce Güney grubu şampiyonu sonra da Almanya şampiyonu oldular. 2007-08 sezonunda ise Bayern Münih'in U-19 takımında yer aldı. Güney liginde üçüncü olurlarken, Ekici 19 maçta 13 gol kaydetti.

2007-08 sezonunda Bayern Münih II takımına yükseldi. Yerel Lig olan Regionalliga Süd'de forma giymeye başladı. İlk maçına 18 yaşına 5 gün kala çıktı. 2008-09 sezonunda ise ligdeki format değişikliği ile 3. Liga'da oynamaya başladılar. Bayern Münih II, ligde 5. olurken, Ekici 38 maçın 32'sinde forma giymeyi başardı. Özellikle ligin ilk haftaları çok etkili oldu. İlk maçında Thomas Müller ve Ekici attığı gollerle takımlarının lige galibiyetle başlamasına sebep oldular. İlk 7 haftada 4 gol kaydeden Ekici, sezonu 6 golle kapadı.

2009-10 sezonunda daha etkili bir performans gösteren Ekici, 29 maçta 12 gol kaydetti. O sezon ikinci takımı teknik direktörü olan Mehmet Scholl ile birlikte özel çalışmalar yaparak kendini geliştirdi.

23 Temmuz 2008'de Bayern Münih teknik direktörü Jürgen Klinsmann, Borussia Dortmund ile oynanan gayri resmi Almanya Süper Kupası finalinde Ekici'yi 71. dakikada Hamit Altıntop'un yerine aldı. Böylece Ekici, resmi olmasa da ilk kez Münih forması giymiş oldu. Oyuna girdikten 2 dakika sonra da Münih'in golünü kaydetti. Bayern Münih maçı 2-1 kaybetti.

2009-10 sezonunun devre arasında Ekici, Bayern Münih ile Dubai'deki antremanlara katıldı. 1 Şubat 2010'da Münih'le olan anlaşmasını 30 Temmuz 2011'e kadar uzattı. Sezon içinde zaman zaman A takımla çalışmalara katılsa da daha sonra takım arkadaşları David Alaba ve Diego Contento ile birlikte rezerv takımda maça çıkmaya başladılar. Bayern Münih'in 2008–09 ve 2009–10 sezonlarındaki UEFA Şampiyonlar Ligi kadrosunda yer aldı ancak forma şansı bulamadı.

Temmuz 2010'da 1. FC Nürnberg'e kiralık gönderildi. 15 Ağustos 2010'da oynanan ilk resmi maçı olan Almanya Kupası maçında 60. dakikada oyuna girip bir gol kaydetti. 21 Ağustos 2010'da ise Borussia Mönchengladbach karşısında ilk 11'de forma giyerek ilk kez Bundesliga'da oynadı. Ekici, maçta 73. dakika forma giydi. 2 Ekim'de FC Schalke 04'ü 2-1 yendikleri maçta ise galibiyeti getiren golün asistini yaptı.

18 Mayıs 2011 günü Mehmet Ekici 2011-12 sezonundan başlayıp 2015 yılına kadar süren sözleşmeyi imzalamıştır. Bremen kariyerine Almanya Kupası maçı olan 1. FC Heidenheim 1846 karşılaşması ile başladı, ancak rakiplerine elendiler. Aralık ayında geçirdiği sakatlığa kadar 14 maçın hepsinde forma giydi. Bremen'deki ilk golünü eski takımı 1. FC Nürnberg'e attı.

Ekici, 2007'de Güney Kore'de düzenlenen FIFA 17 Yaş Altı Dünya Kupası için Almanya U-17 kadrosuna çağrıldı. Grup maçlarından Trinidad ve Tobago ile oynanan maçta 90 dakika forma giydi. Almanya, turnuva sonunda Dünya üçüncüsü oldu. 25 Eylül 2007'de Ruanda ile oynanan hazırlık maçında ilk ve son kez Almanya U-18 formasını giydi. Almanya, Ruanda'yı 3-1 yenerken, Ekici de 2 gole imza attı.

4 Eylül 2008'de de Çek Cumhuriyeti'ne karşı hazırlık maçında Almanya U-19 formasını giydi. 9 Ekim 2009'da U-20 formasını giymeye başlayan Ekici, İsviçre'ye bir gol kaydetti. Toplamda 4 kez U-20 forması giymiş oldu. Eylül 2010'da Avrupa Futbol Şampiyonası elemelerinde teknik adam Rainer Adrion tarafından Almanya 21 Yaş Altı Milli Futbol Takımı'na ilk kez çağrıldı. Çek Cumhuriyeti ve Norveç'e karşı forma giyerek U-21 formasını da giymiş oldu.

Ekici, 29 Ekim 2010 tarihinde milli takım seçimini Türkiye'den yana kullanmıştır. 17 Kasım 2010'da Hollanda'ya 1-0 kaybedilen müsabakada 62. dakikada oyundan çıkan Burak Yılmaz yerine oyuna girdi ve ilk kez milli takım formasını giydi. 2012 Avrupa Futbol Şampiyonası elemelerinde üç maçta forma giydi ancak Türkiye şampiyonaya katılamadı.