Özdeşlik ilkesi, matematiksel ifadelerin aynı türden yazılmasını kolaylaştıran bir yöntemdir. 8. Sınıf ders konusu olan cebirsel ifadeler ve özdeşlikler, LGS Matematik sınavında da öğrencilerin karşısına çıkmaktadır. Özdeşliklerde sayıların yerine harfler bulunmaktadır. İşte, cebirsel ifadeler ve özdeşlikler örnek sorular…
8. SINIF ÖZDEŞLİKLER KONU ANLATIMI
En az bir işlem içeren ve en az bir bilinmeyeni bulunan ifadelere cebirsel ifadeler adı verilir. Çarpanlara ayırma özdeşlikleri ifadelerin aynı türden çarpanlar şeklinde yazılmasını sağlayan yöntemlerdir. Cebirsel ifadeler ve özdeşliklerde harfler sayıları temsil etmektedir. Sayıları ifade eden bu harflere bilinmeyen veya değişken adı verilmektedir. Cebirsel ifadede artı veya eksi ile ayrılmış ifadelere terim adı verilir. Cebirsel ifadede bulunan harflere değişken veya bilinmeyen, bu değişkenin önünde bulunan sayıya katsayı denir. Cebirsel ifadede sayı ve değişkenin çarpımına terim, yalnız sayıdan oluşan terime ise sabit terim denir.
ÖZDEŞLİK FORMÜLLERİ
Matematikte en önemli özdeşlik formülleri; iki terim farkının karesi, üç terim toplamının karesi, iki terim toplamının küpü, iki terim farkının küpü ve iki kare farkı özdeşliğidir. İşte, özdeşlik formülleri…
İki terim toplamının karesi: (a + b)² = a² + 2ab + b²=(a-b)²+4ab
İki terim farkının karesi: (a - b)² = a² - 2ab + b²=(a+b)²-4ab
Üç terim toplamının karesi: (a +b + c)² = a² + b² + c² + 2.(ab + ac + bc)
İki terim toplamının küpü: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
İki terim farkının küpü: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
İki kare farkı özdeşliği: a² – b² = (a + b).(a – b)
İki kare toplamı: a2 + b2 = (a − b)2 + 2ab
a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
İki terimin toplamının karesi özdeşliği: (a + b)² =a2 + 2ab + b2
Tam kare özdeşliği: (a+b)² , (a-b)²
İki küp toplamı: a³ + b³ = (a + b).(a² – ab + b²)=(a+b)³-3ab.(a+b)
İki küp farkı: a³ - b³ = (a - b).(a² + ab + b²) = (a-b)³+3ab(a-b)
x² + y² + z² = (x + y + z)² – 2 (xy + xz + yz)
CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER ÖRNEK SORULAR
1) Fatih Sultan Mehmet köprüsünden geçiş yapan bir minibüs gidiş için x2-1 TL, dönüş için x2+1 TL ücret ödüyor. Bu minibüsün gidiş ve dönüşte ödediği ücretlerin çarpımı 624 TL'dir.
Buna göre bu minibüs gün içerisinde 6 defa gidiş dönüş yaparsa toplamda kaç TL geçiş ücreti öder?
A) 180 B) 240 C) 300 D) 360
Çözüm:
Gidiş ve dönüş ücretlerinin çarpımının cebirsel olarak verilen değerlerini çarpalım.
(x2-1)( x2+1) = 624
(a-b)(a+b) = a2 – b2 iki kare farkı özdeşliğini kullanırız.
(x2-1)( x2+1) = (x2)2 – 12
= x4 – 1 = 624 ise x4 = 625'dir.
5'in 4. Kuvveti 625 olduğundan x = 5 olur.
Gidiş için = x2-1 = 24 TL
Dönüş için = x2+1 = 26 TL
Gidiş + Dönüş = 24 + 26 = 50 TL
6 defa gidiş dönüş için 6.50 = 300 TL geçiş ücreti öder.
Cevap C
2) Bir masanın kısa kenarı x-6 birim uzun kenarı 2x+4 birimdir. Bu masanın bütün kenarlarından 5 cm sarkan bir örtünün alanını veren cebirsel ifade ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Sabit terimi 56'dür.
B) x2 li terimin katsayısı 2'dir
C) x'li terimin katsayısı 22'dir.
D) Katsayılar toplamı 78'dir.
Çözüm:
Örtü masanın kısa kenarının iki tarafından 5 cm sarktığı için 5.2=10 cm ekleriz. x-6+10 = x+4 cm olur.
Aynı şekilde masanın uzun kenarından da 5 cm sarktığı için 10 cm ekleriz. 2x+4+10 = 2x+14 cm olur
Örtünün alanını bulmak için kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar uzunluğunu çarparız.
(x+4)(2x+14) = x.2x + x.14 + 4.2x + 4.14
= 2x2+14x+8x+56
= 2x2+22x+56
Cevap D
3) Bir kenar uzunluğu 3x cm olan kare şeklindeki kağıt, yukarıdaki gibi üst üste iki kere katlanıp yeni bir kare oluşturuluyor.
M şeklinde görüldüğü gibi bir kenar uzunluğu b cm üçgen kesilerek atılıyor.
Buna göre N şekli tamamen açıldığında alanı kaç cm2 olur?
A) 9x2– 2b2 B) 3x2– 2b2 C) 6x2– b2 D) 4x2– 4b2
Çözüm:
Şeklin başlangıçtaki alanı (3x)2 = 9x2 dir.
Şekil 1. durumda ikiye katlandı ardından 2. durumda tekrar ikiye katlandı. Toplamda 4 kat oldu. Bundan dolayı kesilen parçanın alanından 4 tane vardır.
Kesilen parçanın şekli ikiz kenar dik üçgendir.
Alanı = (b.b)/2 = b2/2 dir.
4 tane olduğundan 4 ile çarpalım.
(b2/2).4 = 2b2 kesilen parçanın alanıdır.
N şekli tamamen açılırsa ilk alandan kesilmiş alanın çıkarılmış halinin alanı kalır.
N'nin Alanı = 9x2-2b2 bulunur.
Cevap A
4) Ali elindeki ipin tamamını Şekil 1'de verilen çivilerin etrafına gergin şekilde bir sıra çevirdiğinde kare bir şekil oluşturmaktadır ve oluşan bu kare şeklin alanı 4x2+8x+4 cm2 dir. Ali aynı ipin tamamını Şekil 2'de bulunan çivilerin etrafında gergin şekilde çevirdiğinde kenar uzunlukları aralarında asal ve her bir kenar uzunluğu santimetre cinsinden bir doğal sayı olan dikdörtgen bir şekil oluşmaktadır.
Ali'nin Şekil 2'de oluşturduğu dikdörtgenin alanı 20 cm2 olduğuna göre x'in alabileceği değerlerin pozitif farkı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 B) 3 C)4 D) 6
Çözüm:
Birinci şekil kare ve alanı verildiği için bir kenarını bulabiliriz. Şekil kare olduğundan verilen cebirsel ifade tam karedir.
4x2+8x+4 = (2x)2+2.2.2x+22 = (2x+2)2 olur.
Karenin bir kenarı 2x+2'dir.
Şekil 1'deki ipin uzunluğu 4.(2x+2) = 8x+8 olur. Diğer şekilde de aynı ip kullanıldığı için kare ile dikdörtgenin çevresi eşittir.
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulalım. Çevre uzunluğunu kullanarak.
Ç = 2(a+b) = 8x+8
a+b = 4x+4 olur.
Dikdörtgenin alanını soruda 20 olarak verildiği için,
a.b = 20'dir. (a.b ifadesi 5.4, 1.20 veya 2.10 olabilir) a ile b aralarında asal olduğu için 2.10'u alamayız.
5.4 = 20 için a=5, b=4
5+4 = 4x+4 olduğundan 4x = 5 ten x= 5/4 dır.
1.20 = 20 için a=1, b=20
1+20 = 4x+4 olduğundan 4x=17 den x=17/4 dır.
(17/4)-(5/4) = 12/4 = 3 bulunur.
Cevap B
