Gümüşhane'nin Kürtün ilçesine bağlı Tilkicek köyünden Almanya'nın Bielefeld kentine işçi ailesi olarak göç etmiş bir ailenin çocuğu olarak dünyaya gelen Mehmet burada futbola yöresel bir amatör takım olan SUK Bielefeld altyapısında başladı. Altyapı karşılaşmalarında gösterdiği performans sayesinde birçok yetenek scout'larının dikkatini çekti. Bielefeld'in Bundesliga ekiplerinden Arminia Bielefeld altyapısına transfer oldu. Burada 2001 yılına kadar oynadıktan sonra Borussia Dortmund'a transfer oldu.

2003-04 sezonunda Dortmund'un U-19 ve 3. Lig'te mücadele eden ikinci takımında forma giymeye başladı. Dortmund'un ikinci takımında ünlü antrenör Horst Köppel ile çalışma fırsatı buldu. Sonraki sezon teknik direktör Bert van Marwijk tarafından A takım ile çalıştırıldı. 17 Temmuz 2004'te UEFA Intertoto Kupası'nda KRC Genk karşısında 90. dakikada Ewerthon'un yerine oyuna girerek ilk kez resmi bir maçta Dortmund forması giydi. Bundesliga'nın 6. ve 7. haftalarında ilk 18'e alınan futbolcu, 8. hafta VfB Stuttgart karşısında 67. dakikada David Odonkor'un yerine oyuna girerek ilk kez lig maçına çıkmış oldu. Ancak daha sonra A takımda tercih edilmeyerek sezona ikinci takımda devam etti. Sezon sonunda Borussia Dortmund II, küme düştü.

Akgün, sonraki iki sezonu ikinci takımda geçirdi ve A takımda ancak bir maç kadroya girse de forma şansı bulamadı. 2005-06 sezonunda 4. Lig şampiyonu oldular. İkinci takımda Nuri Şahin ve Yasin Öztekin gibi çift pasaportlu futbolcularla beraber oynadı.

2007-08 sezonu Borussia Dortmund'la son sezonu oldu. Sezonun ilk yarısını yine ikinci takımda geçiren futbolcu, teknik direktör Thomas Doll tarafından uzun bir aradan sonra tekrar A takıma alındı. Hamburger SV karşısında ilk kez ilk 11 çıkıp, 90 dakika şans buldu ancak rakiplerine 3-0 yenildiler. Sonraki iki maçta da kadroda yer alsa da forma giyemedi. Devre arasında takımdan ayrıldı.

Dortmund sonrası, Holanda takımı olan Willem II'ye transfer olmuştur. Willem II'de ilk sezonunda 6 maça çıkan futbolcu, 2008-09 sezonuna ise Ajax Amsterdam'ı 2-1 yendikleri maçta gol atarak başladı.

2009-10 sezonunda geçirdiği sakatlık nedeniyle sadece 4 maç forma giydi. Takıma son haftalarda katılan futbolcu, küme düşme play-off'una kalan takımının son maçlarına yardım etti. Final maçında 66. dakikada oyuna giren futbolcu, uzatmalara giden maçın uzatma dakikalarında 2 gol kaydederek takımı ligde tutan futbolcu oldu.

2010-2011 sezonunun başında Gençlerbirliği'ne transfer oldumuştur. Böylece Dortmund'daki hocası Thomas Doll ile tekrar bir araya geldi. Ancak geçirdiği sakatlık nüksedince kasım ayına kadar futbol oynayamadı ve Doll'un istifası nedeniyle kendisiyle çalışamadı. Sezonun ikinci yarısında takımın önemli isimlerinden olan Akgün, Türkiye Kupası'nda yarı final gördü. 2011-12 sezonunda ise 27 maçta forma giyse de zaman zaman ilk 11'de yer aldı.

1 Haziran 2012 tarihinde Beşiktaş'a transfer olduğu açıklandı. Beşiktaş forması ile ilk kez Türkiye Kupası'nda 25 eylül 2012 tarihinde Niğde Belediyespor karşılaşmasında giydi.

2 kez Türkiye U-17 milli takımana davet edilen Mehmet Akgün, 1 kez Türkiye U-17 milli takım formasını giymiştır.